Si une matrice M de dimension n possède n valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable. Expression d'une puissance de matrice diagonale. b − 0 Une application de ce résultat concerne les représentations de groupes finis par des groupes de matrices complexes inversibles. La diagonalisation des matrices est en effet très courante dans les exercices ou les sujets portant sur les matrices. En effet, l'ensemble des matrices réelles non diagonalisables sur les réels et dont le polynôme caractéristique est à racines simples sur le corps des complexes forme alors un ouvert non vide. Y Cependant, si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, chacune de ses racines est associée à une valeur propre et les vecteurs propres associés forment une base, montrant que la matrice est diagonalisable. —. ) Plus précisément, le lieu d'annulation du discriminant est une sous-variété algébrique (stricte) donc elle est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue (quelle que soit la base choisie) ou pour n'importe quelle mesure qui lui est absolument continue. U {\displaystyle A} Sauf que si un sous-espace propre est de dimension 4 par exemple, sa base sera constituée de 4 vecteurs : la matrice P aura donc 4 vecteurs associés à une même valeur propre. D’après ce que l’on vient de voir, cette matrice n’est diagonalisable que si le sous-espace propre associé est de dimension n. Si la multiplicité est supérieure à 1 : il faut calculer la dimension du sous-espace propre : Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P.Q(D).P-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. On en déduit que Q(M) est nulle si et seulement si tous les coefficients diagonaux de D sont des racines du polynôme Q. A − Ce résultat est une conséquence de la caractérisation ci-dessus par les polynômes. Les puissances d'une matrice diagonalisable s'expriment sous la forme = − où la puissance de la diagonale se calcule en élevant simplement chaque coefficient diagonal à la même puissance .. En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P. Q(D).P-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. L'exemple donné ici traite d'un cas d'analyse fonctionnelle. Plus généralement, les endomorphismes et matrices d'ordre fini sont diagonalisables sur le corps des complexes. admettant au moins une puissance non nulle diagonalisable est diagonalisable également sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Limite.page 3 (C) Diagonalisation d’une matrice carrée d’ordre 2 Définition 3 Une matrice carrée A est dite diagonalisable s’il existe une matrice carrée P inversible et une ma-trice carrée D diagonale telles que A ˘PDP¡1. Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. (x – 3)2(x + 7)(x – 4)9 est scindé mais n’est pas à racines simples. Puissance n -ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3. a Si M est diagonalisable, que vaut alors la matrice D ?? On notera M r {\displaystyle M^{r}} cette opération. M On calcule le polynôme caractéristique : Un rapide calcul (tu peux t’entraîner à le faire) montrerait que les racines du polynôme sont -1 et 3, donc les valeurs propres de A sont -1 et 3 ! Réciproquement, si une matrice admet une famille de vecteurs propres qui forment une base de l'espace des vecteurs colonnes alors cette matrice est diagonalisable. Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : Ce sera une matrice diagonale dont la diagonale sera constituée des valeurs propres de M. Oui mais dans quel ordre ? P(x) = α(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn) Dans , tous les polynômes sont scindés ! Si det(A – λ Id) = (λ – 5)2(λ – 7)4(λ + 12) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Au contraire, un endomorphisme nilpotent non nul ne peut pas être diagonalisable. {\displaystyle A} P {\displaystyle A} X Tous ces vecteurs propres sont rassemblés dans un espace vectoriel appelé sous-espace propre et noté Eλ. La somme des dimensions vaut 3, comme la dimension de l’espace, donc la matrice est diagonalisable. Pêche au gros, Big game fishing à l'ile de la Réunion. A On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Il est possible de démontrer aussi que l'ensemble des matrices diagonalisables inversibles est également connexe par arcs comme image du produit des matrices diagonales inversibles (isomorphe à un produit fini de copies du groupe des complexes non nuls) et du groupe linéaire, tous deux connexes par arcs. Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale. Par exemple : Remarque : on a vu précédemment que pour un polynôme scindé, la somme des multiplicité était égale au degré de P. n 1. A noter qu’un vecteur propre est nécessairement NON NUL !!! Comme chaque élément du groupe est d'ordre fini, il annule un polynôme de la forme Si en outre le groupe est abélien, il existe une base dans laquelle toutes les matrices de la représentation sont diagonales. En effet, si on a une valeur propre λ associée au vecteur propre X, on a : Le vecteur propre et la valeur propre sont reliés par cette égalité. Comme M est de taille 3 x 3, X est un vecteur colonne 3 x 1 : Ce qui se résume finalement à une seule équation : z = -x, soit x + z = 0 Autre propriété importante : la dimension d’un sous-espace propre est au moins égale à 1 (puisqu’il y a au moins un vecteur propre non nul), et au plus égale à la multiplicité de la valeur propre : Conséquence : si multiplicité d’une racine est 1, son sous-espace propre est obligatoirement de dimension 1 (c’est le cas le plus simple, si la multiplicité n’est pas 1 il va falloir calculer la dimension du sous-espace propre…). – les sous-espaces propres de 4 et 9 sont de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 2 qui n’est pas égal à 3 : la matrice M n’est pas diagonalisable. admettent leurs racines d'ordre A est diagonalisable sur ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre λ de A, m(λ) = dim(Eλ). Le lieu d'annulation de ce discriminant réunit alors les matrices non diagonalisables même sur le corps des complexes et les matrices diagonalisables dont le polynôme caractéristique est à racines multiples. Par exemple : (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) est scindé. a En particulier, ce polynôme est scindé à racines simples. X est associé à 1, Y à 2 et Z à – 4. Y On peut donc dire que le sous-espace propre contient l’ensemble des vecteurs propres ainsi que le vecteur nul. TS : Puissance n-ième d’une matrice. Pour les trouver on va utiliser la résolution du système précédent, on avait trouvé z = -x. Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours En regroupant un vecteur propre de chaque valeur propre, on obtient une base qui permet de former la matrice P. Il faut donc prendre deux vecteurs LIBRES vérifiant cette équation, par exemple : Il est assez évident que X et Y sont libres. Les matrices réelles symétriques sont diagonalisables par une matrice orthogonale. Nous allons donc étudier le cas où le polynôme est scindé. Y Un autre exemple : A est une matrice 2×2 telle que A 1 1 = 2 2 et A 1 −1 = 1 Plusieurs matrices sont dites simultanément diagonalisables (ou codiagonalisables) si elles sont semblables à des matrices diagonales dans une même base. une matrice inversible dont une puissance b {\displaystyle A^{n}} En revanche, (λ2 + 2λ + 9)(λ + 5) n’est pas scindé car on ne peut pas factoriser λ2 + 2λ + 9 (en tout cas dans les réels, car son Δ est strictement négatif). Mathématiquement, on peut donner les définitions suivantes : — Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut (et il suffit) que la dimension de chaque sous-espace propre soit égale à la multiplicité de la valeur propre : — -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). {\displaystyle X^{n}-1} —, Le spectre d’une matrice M est noté Sp(M). (Nous avons noté la puissance r au lieu de n pour ne pas confondre avec l'ord… λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. Le cas particulier que nous allons voir se retrouve souvent en exercice, et on demande souvent à le redémontrer. En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. est une matrice orthogonale et {\displaystyle UDU^{-1}} ( Bon dimanche à tous, voici l'énoncé suivant : Soit $M$ une matrice complexe inversible telle que $M^p$ soit diagonalisable. X A a Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : On rappelle qu’un sous-espace propre d’une valeur propre λ est noté Eλ et est l’ensemble constitué des vecteurs propres d’une valeur propre ainsi que du vecteur nul. Il n’y a donc que 2 valeurs propres pour un espace de dimension 3. – mettre dans P d’abord Z, puis X et Y et alors D aura sur sa diagonale dans l’ordre 2, 4 et 4. Maintenant, il ne reste plus qu’à savoir comment calculer la dimension des sous-espaces propres et en trouver une base ! dans le corps des coefficients. λ valeur propre de M ⇔ det(M – λ Id) = 0 MATRICE • Si n =1 , la matrice M est appelée matrice ou vecteur colonne, par exemple : M = 1 3 −4 • Si m = n, la matrice M est appelée matrice carrée d’ordre m.Par exemple la matrice carrée d’ordre 2 : M = 4 5 3 −2 • Une matrice carrée est symétrique si et seulement si a ij = a ji ∀i 6= j.Par , pour la valeur propre —. Une partie des matrices diagonalisables est constituée de celles dont le polynôme caractéristique est à racines simples, c'est-à-dire de discriminant non nul. {\displaystyle A^{n}} N'importe quelle matrice peut être approchée par de telles matrices en perturbant les coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire semblable. – le sous-espace propre de 4 est de dimension 2 et celui de 9 de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. a 2 à coefficients dans K satisfaisant la relation : Dans ce cas, chaque vecteur colonne est inversible, sa puissance —. Saches tout d’abord qu’on ne peut diagonaliser que des matrices carrées, donc toutes les matrices que l’on cherchera à diagonaliser seront carrées (on ne le précisera donc pas à chaque fois). Parlons maintenant de ce que l’on appelle les éléments propres. d La puissance -ième d'une matrice diagonale est : Pour une matrice quelconque, les calculs se simplifient à partir du moment où elle est semblable à une matrice diagonale. Les éléments propres sont les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres.. Une valeur propre est un scalaire (souvent un réel) : elle est souvent notée λ. Dans les 3 cas, la matrice A est diagonalisable et c’est seulement quand -1 est valeur propre que la suite (A n ) diverge. P =−1. λ est une valeur propre de M s’il existe un vecteur X non nul tel que MX = λX. ) Pour diagonaliser une matrice : Un endomorphisme d'un espace vectoriel est dit diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres. Cela peut aussi se dire : si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable (la multiplicité de chaque racine est 1). Si tel est le cas, on prend une base de ce sous-espace et les vecteurs de cette base constituent la matrice P. La matrice D n’est donc composée que de λ sur sa diagonale : (retiens bien cette démonstration, elle est facile et peut t’être demandée en exercice…). – soit le polynôme caractéristique n’est pas scindé, et alors la matrice n’est pas diagonalisable x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 n’ont pas de racine réelle, donc ils ne sont pas factorisables dans , donc P n’est pas scindé dans . Tu devrais trouver comme polynôme caractéristique : (2 – λ)(λ – 4)2 Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! — ϕ , alors. Puissance d'une matrice diagonalisable Suites "géométriques" de matrices Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 ou 3 18/33. {\displaystyle k} = D’où le théorème suivant : — En cherchant, on trouverait que des vecteurs propres associés à ces valeurs propres sont : (tu peux calculer pour vérifier si tu veux !). Si r est différent de 0, élever la matrice M {\displaystyle M} à la puissance r, c'est multiplier r fois la matrice M {\displaystyle M} par elle-même. une matrice diagonale réelle, alors le produit de matrices réelles Une matrice carrée Exercices. {\displaystyle A} —. On a donc MX = λ1X et MX = λ2X a Si l’on a une matrice M, diagonaliser cette matrice revient à chercher une matrice diagonale D ainsi qu’une matrice inversible P telle que : Autrement dit, on cherche une base dans laquelle la matrice M est diagonale. ATTENTION à ne pas oublier le α !!! Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… Exemple de matrice non diagonalisable modulo. Cas particulier : une seule valeur propre. La matrice M est alors semblable à la somme d'une matrice diagonale D et d'une matrice nilpotente N dont l'indice de nilpotence est le plus petit commun multiple des ordres de multiplicité de chaque racine du polynôme minimal de M. Si de plus M annule un polynôme scindé à racines simples, alors son polynôme minimal est lui aussi scindé à racines simples, si bien que N est nilpotente d'ordre 1 c'est-à-dire nulle, et M est semblable à la matrice diagonale D. Pour toute valeur propre λ d'une matrice M, on distingue : La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante. En dimension 2 ou 3, la diagonalisabilité d'une matrice est déterminée par le signe du discriminant de son polynôme caractéristique lorsqu'il est non nul. L'ensemble des matrices diagonalisables contient donc un ouvert dense. – le sous-espace propre de 4 est de dimension 1 et celui de 9 de dimension 2 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. Matrice réelle orthogonale et antisymétrique, Matrice carrée de taille 2, polynôme caractéristique et discriminant dont l'ensemble d'annulation, Application à l'exponentielle matricielle, représenté dans cette base par une matrice, topologie séparée compatible avec sa structure d'espace vectoriel, équations différentielles linéaires à coefficients constants, Palette incluant la multiplication des matrices, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrice_diagonalisable&oldid=178665397, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, sa multiplicité algébrique, qui est l'ordre de multiplicité de la racine λ dans le polynôme caractéristique de, son polynôme caractéristique est scindé et. -Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 10:28:21 Les sous-espaces propres associés aux valeurs propres sont de dimension la multiplicité de la valeur propre correspondante, ce qui prouve que la matrice A est diagonalisable… 1. Il n’y a donc qu’une seule valeur propre, mais A n’est pas égal à 8 Id donc A n’est pas diagonalisable. Pour trouver le sous-espace propre associé à la valeur propre 4, on résout : Enfin, on pourrait démontrer de manière assez simple (entraîne-toi à le faire) que la somme des multiplicités des racines d’un polynôme scindé est égale au degré du polynôme : — ... d'autre part la matrice de départ n'est pas diagonalisable et le calcul d'Alain ne peut etre simplifié..et la recherche directe du reste de la division de X^n par le polynome caracteristique est plus rapide que la resolution d'un systeme lineaire, à mon avis.
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