P {\displaystyle Q_{2}} P ( , alors le sous-groupe {\displaystyle P_{i}} {\displaystyle p} Q N En effet, si P et Q sont deux différents p-sous-groupes de Sylow de H, alors, d'après le point a), n'est pas un p-groupe, donc P et Q ne sont pas contenus dans un même p-sous-groupe de Sylow de G, donc f(P) et f(Q) sont distincts, ce qui prouve que f est injective. a N j�`�{��w��³���h�fɉ�,���ڊy�T�#��|uU�Zn���]�����L��IQM,�3N4��P�-��v�H������ù�����ͽ���-���ǧu}�����K�����l��@�m��n����25SF���$ܨ�%�Y�7�:�dWU����v�[�E �A���=���/��U�)���44y�3E��&��)|A������N��Β�~�� 3&nQ��X���u�ۇjSn��z�ږ��������\�?e��nb���]2z�.��. {\displaystyle p} Q ⋅ p {\displaystyle Q_{1}} Réciproquement, soit x un élément de P qui stabilise Q, prouvons que x appartient à Q (et donc à P ⋂ Q). Solution. {\displaystyle p} Puisque l’ensemble E est supposé non vide, nous pouvons choisir un élément V de E. Désignons par F l’ensemble des conjugués V1, ... , Vr de V dans G. Par hypothèse sur E, ces conjugués appartiennent tous à E. Faisons opérer V sur F par conjugaison, ce qui est clairement possible, puisque l’ensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G et a fortiori par tout élément de V. Si un Vi est point fixe, alors V normalise Vi, donc, par hypothèse sur E, Vi est égal à E. Cela montre que V est le seul point fixe de l'opération. 1 p Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 7 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. de G. D'après (1), N 2 et la plus grande puissance de %PDF-1.5 {\displaystyle p} i (Un isomorphisme d'un groupe sur un autre transforme les sous-groupes normaux du premier en les sous-groupes normaux du second. {\displaystyle p} Q | Un morphisme (de groupes) de G dans G0 est une application f : G → G0 telle que pour tous g 1,g 2 dans G on a f(g 1g 2) = f(g 1)f(g 2). -sous-groupe de Sylow de G contenant Q normalise Q, autrement dit tout ) C ⟨ {\displaystyle C_{G}(Q).} {\displaystyle p} Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes : G ) {\displaystyle \vert G\vert .} , ⟩ | est contenu dans un {\displaystyle \vert \vert \cdot \vert P\vert } Si Q C Tu devrais essayer de trouver quelques exercices corrigés sur le calcul de noyaux de morphismes pour t'entraîner un peu ! i p normalise {\displaystyle p} ≥ φ ) -sous-groupes de Sylow de ) m , c) Montrer que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo p. (Indication : montrer que l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G satisfait aux hypothèses sur E du point a.). = -sous-groupes de Sylow de G, donc On suppose que contient un élément d’ordre . 1 | N 3. i P b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque : plus di ciles. {\displaystyle P_{i}} i p | Nous avons donc prouvé que, Il reste à prouver la réciproque, à savoir que, D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un On a donc a = b, donc P et Q ont le même ordre. Soit Q' un p-sous-groupe de Sylow de G/H; il s'agit de prouver la, Choisissons un p-sous-groupe de Sylow de G, par exemple le P de l'énoncé. Exercices de Barbara Tumpach, relecture de François Lescure. {\displaystyle p} ⟩ {\displaystyle p} g {\displaystyle N_{G}(Q)} {\displaystyle p} ⋂ ) {\displaystyle p} (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur), donc l'intersection des normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow de G est le cœur de Puisque, par hypothèse, c’est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, la condition a) est satisfaite. qui divise -sous-groupes de G (non forcément distincts). (Indication : à l'aide des points b) et d), montrer que si P est un p-sous-groupe maximal de G, alors l'indice de P dans NG(P) n’est pas divisible par p.). ( {\displaystyle p} {\displaystyle \vert G\vert } i Q ⟩ Il est clair que Z(G) est contenu dans {\displaystyle hg\in N_{G}(P)} {\displaystyle N_{G}(Q)} On peut prendre G= S 4 ou A Remarque. i 1 -sous-groupes de Sylow de H. On verra dans un exercice de la série Sous-groupes caractéristiques que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont en fait des sous-groupes caractéristiques de G, ce qui est plus fort que l'énoncé du présent problème. -sous-groupe de Sylow de normalise Soient G un groupe et p et q deux nombres premiers distincts. Prouver que pour tout élément Q de Syl(p, G), le stabilisateur de Q est P ⋂ Q. Soit Q un élément de Syl(P, G). Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pi. i divisant (2017) 104 : Groupes finis. {\displaystyle \langle P,Q\rangle =P} ( -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens. = G {\displaystyle p} p -sous-groupe de Sylow de G, ce qui revient à dire que -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens, soient p < -sous-groupe de G. a) Prouver que les , -sous-groupe de Sylow de G, il en résulte que N , donc chaque (On a d'ailleurs prouvé ce fait dans la théorie.) G De même, on montre l’existence d’un neutre à droite g0.Enfin on a gg0 ˘ g0 car g est un neutre à gauche, et gg0 ˘g car g0 est un neutre à droite, d’où g ˘g0. , Ainsi, W est conjugué de U par l'élément hg de NG(P). Q de non divisible par . -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les Or P est évidemment un p-sous-groupe de Sylow de NG(P) et c’est le seul, puisqu’il est sous-groupe distingué de NG(P). ∈ Notons Sylp(G) (resp. | {\displaystyle \vert H\vert } . Algèbre Théorie des groupes Cours & exercice corrigés écrit par Anne CORTELLA, éditeur VUIBERT, livre neuf année 2011, isbn 9782311002775. P Posons |G| = pam, où m n’est pas divisible par p. Prouvons d’abord que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G. Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G contenu dans un p-sous-groupe Q de G. Il s'agit de prouver que P = Q. sont contenus dans un même sous-groupe abélien de G, donc ils se centralisent. 2. g N D'après le théorème de Lagrange, pb divise |G| = pam, donc b ≤ a. Déterminer les sous-groupes distingués de S … D'autre part (par exemple d’après le troisième théorème d'isomorphisme, ou encore simplement d’après la relation [A:B] = |A|/|B|, vraie pour tout groupe fini A et tout sous-groupe B de A), l'indice de PH/H dans G/H est égal à [G:PH]. {\displaystyle p} i {\displaystyle p} . de sont égales, donc. {\displaystyle p} p Q i P -sous-groupe de Sylow de G contenu dans (On verra plus loin que les p-sous-groupes maximaux de G sont ses p-sous-groupes de Sylow, définis comme les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant |G|.) / Q -sous-groupe de Sylow de est l'unique p-sous-groupe de Sylow de p ( Cette contradiction prouve que l’ordre de NG(H)/H n’est pas divisible par p et, comme nous l'avons vu, cela achève de prouver l'énoncé. (a) Montrer que G admet 6 5-Sylow, et que l’action de conjugaison sur ses 5-Sylow définit un morphisme injectif a : G !S P 1 Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.). 1 | a -sous-groupes de Sylow de On note l’application de dans qui à associe l’élément neutre de et à associe la puissance -ième de dans . *�2>D�-Yx�����uT����]�cox���ig��3��w;g˫r�_T��O�A��1��.���ꧦ�@TGXOe�#H�x˸BmB���=hE (Comme au point b), on peut en déduire que le nombre des 0 . ⟨ P Universit¶e de Nice Sophia-Antipolis Alg µebre et Arithm ¶etique, L3 Corrig¶e de l’examen partiel Mars 2008 Exercice 1. {\displaystyle p} -sous-groupes de Sylow de (On a démontré ce dernier fait au problème 1, sans utiliser l'énoncé à démontrer ici.). 1 On aurait pu dire aussi que est un p-sous-groupe de NG(P) et est donc contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de NG(P). ( G N 2 p i p i -sous-groupe de Sylow de G. On suppose que Q normalise P ou P normalise Q. Prouver que P contient Q. ⋂ ) G Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes : 1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ; 2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K. Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo p. (Indication. Q . p des sont conjugués dans G/H, donc il existe un élément g de G tel que, Comme {\displaystyle C_{G}(Q). Cela prouve que 2° entraîne 3°. {\displaystyle \vert H\vert } Au total, le livre développe 366 exercices, tous corrigés, avec explications et justifications, les démonstrations couvrant près de 200 pages. Q est égal à G Par définition, H est le sous-groupe Edité par sylpro 2 juin 2016 à 18:10:59 sylpr ; Exercice Groupes des verbes : CE2 - Cycle 2 - Pass Educatio . , cela résulte du problème 10, point b). ) {\displaystyle N_{G}(Q).} i p contient Q. Puisque Q est normal dans C Cela prouve que 1° entraîne 2°. {\displaystyle p.}, D'après le point a), il existe un sous-groupe H de G tel que les . ( . groupes monogènes exercices corrigés : Prépa CAPES UPMC 2008 Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny Lundi 3 novembre 2008 Groupes monogènes, groupes symétriques Groupes monogènes et cycliques Exercice 1 On dit qu’un groupe est monogène s’il peut être engendré par un seul élément. Q Puisque Q est un p-sous-groupe de Sylow de G et que tout p-sous-groupe de Sylow de G est maximal parmi les p-sous-groupes de G, n'est donc pas un p-sous-groupe de G. b) Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, p un nombre premier. Soient p et q des nombres premiers tels que p ≡ 1 mod q . p Q , | de {\displaystyle p} ⋂ P p a = . i 2 1 {\displaystyle Q_{1}} (Burnside[3]). Pour rendre le présent problème autonome, on va redonner une démonstration. Soit pun nombre premier. p p 1 ) , -sous-groupe de G et P un Voir par exemple H. Kurzweil et B. Stellmacher, Conjugaison, centralisateur, normalisateur, les exercices sur les groupes simples d'ordre 168, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Théorie_des_groupes/Exercices/Théorèmes_de_Sylow&oldid=821855, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} ) Soit p un nombre premier, soit G un groupe fini, soit m le plus grand nombre naturel tel que pm divise |G|, soit a le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G, soient P1, ... , Pa les p-sous-groupes de Sylow de G. et est un p Un G un nombre premier et Q un -sous-groupe de Sylow de G. Puisque, par hypothèse, R est normal dans G, P normalise R, donc, d'après le point a), P contient R, ce qui démontre l'énoncé. {\displaystyle N_{G}(Q)} D'après l'équation aux classes, D'après le point b), cela peut s'écrire. {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}} -sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe de S n (théorème de CAYLEY). Structure de groupe 3 existe h 2 G tel que x ˘ ah.On a alors gx ˘ g(ah) ˘ (ga)h ˘ ah ˘ x, ce qui prouve que g est un neutre à gauche. On va refaire un raisonnement déjà fait dans certains des problèmes ci-dessus. -sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des 2 a) Soient G un groupe fini et p un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe. N P , G D'après le chapitre théorique, Q est contenu dans au moins un Q Montrons que E satisfait à la condition 1° du point a), c'est-à-dire que si E comprend un sous-groupe de G, il comprend tout conjugué de ce sous-groupe dans G. Soient P un p-sous-groupe maximal de G et g un élément de G. Il s'agit de prouver que g-1Pg est un p-sous-groupe maximal de G. Tout groupe isomorphe à un p-groupe est un p-groupe, donc g-1Pg est un p-sous-groupe de G. Prouvons que c’est un p-sous-groupe maximal de G. Soit Q un p-sous-groupe de G contenant g-1Pg; il s'agit de prouver que Q = g-1Pg. Q est un p-sous-groupe de Sylow de G, cela prouve notre thèse (1) avec {\displaystyle N_{G}(P)} 1 {\displaystyle \langle P_{1},\ldots ,P_{r}\rangle } ⟩ , donc, Pour prouver la thèse (2), il reste donc à prouver que, D'après les hypothèses générales du problème, chaque i ) {\displaystyle p} {\displaystyle \vert G\vert } {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} G i {\displaystyle Q_{1}} a p {\displaystyle C_{G}(Q)} G , Q {\displaystyle \vert G\vert .} , P Les thèmes abordé sont : actions de groupes, théorèmes de Sylow, produit semi-direct, groupes abéliens de type finis, groupes linéaires, groupes projectifs et représentations des groupes finis. c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque ( p -sous-groupes que {\displaystyle p} contient Q. {\displaystyle \langle Q_{1},Q_{2}\rangle } G 1 | En déduire que G est isomorphe à un produit semi-direct de Z=qZ par Z=pZ. est contenu dans NG(P1), ( {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})} p ≤ {\displaystyle r\geq 1} i et divise le plus grand facteur non divisible par Problème 1 (Autre démonstration des théorèmes de Sylow), Problème 3 (Sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe et d'un groupe quotient), Problème 6 (Congruence de Sylow à module renforcé), Problème 7 (Intersection des p-sous-groupes de Sylow et intersection de leurs normalisateurs), Problème 9 (Nombre des p-sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe). 1 ) {\displaystyle b\ \vert \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}\vert } Le sous-groupe de G engendré par x normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par x est l’ensemble P. Le cardinal de cet ensemble divise est l'unique p-sous-groupe de Sylow de | Désignons par A l’ensemble des p-uplets (x0, ... , xp-1) d'éléments de G tels que x0 ... xp-1 = 1. 1 P En théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G.Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de … . : seront trait es en classe en priorit e. Exercices ??? La seule possibilité est n=1. ) {\displaystyle p} = x Déterminer les sous-groupes de Sylow du groupe alterné A 5. | Il existe donc un p-sous-groupe de Sylow P de G qui est distingué dans G. D'après la théorie, tout p-sous-groupe de Sylow de G est conjugué de P. Puisque P est distingué, il est son seul conjugué, donc il est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, donc la condition c) est satisfaite. Il faut utiliser les théorèmes de Sylow : le nombre n de 11-Sylows est congru à 1 modulo 11, et est un diviseur de 100. 2 un nombre premier, soit Q un {\displaystyle Q_{1}} … Pour prouver que a %���� p G Remarque. ( G -sous-groupe de Sylow de G. Pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout | et {\displaystyle p} -s{��>��Y�s�Q��3�G]l���Q1b��Pn���j����m��;�>. P Q {\displaystyle \vert H\vert } 1 (Il suffit d'ailleurs de considérer un p-sous-groupe de G dont l’ordre est le plus grand possible.) … p {\displaystyle P_{0}} Puisque, par hypothèse, un des deux sous-groupes P et Q normalise l'autre, le sous-groupe | , donc nous pouvons parler de d) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise l’ordre de G. (Donc pm est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que les p-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux, c'est-à-dire que l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours réduite à l'élément neutre. Par la suite, ils ont été partiellement généralisés au cas des groupes infinis2. 2. Comme H est normal dans G, HP est un sous-groupe de G, donc le second membre de (1) divise [G:P] et n'est donc pas divisible par p. Il en est donc de même du premier membre de (1) : D'autre part, H ⋂ P, étant sous-groupe de P, est un p-groupe et donc un p-sous-groupe de H. Joint à (2), cela prouve que H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H. c) On ajoute aux hypothèses générales que H est normal dans G. Prouver que PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H et que tout p-sous-groupe de Sylow de G/H est de la forme QH/H pour un p-sous-groupe de Sylow Q de G. D'après la formule du produit (ou le second théorème d'isomorphisme), l’ordre de PH/H est égal à l’ordre de P/ (H ⋂ P), donc divise l’ordre de P, donc PH/H est un p-groupe. -sous-groupe de Sylow de G, soit P, alors, d'après les hypothèses générales, P est abélien, donc -sous-groupe de Sylow de G contenant Q. -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les 2020 - Equilibre d'un corps sous l'action de 3 forces - Corrigé série d'exercices - AlloSchoo , Bien sûr, ces exercices sont corrigés de façon très détaillée. Q . Certains énoncés démontrés ici serviront à prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes. -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens) les conditions 1°, 2° et 3° sont équivalentes. de G engendré par 1 Q {\displaystyle Q_{1}} Donner les structures de cycles possibles dans S 4, le nombre d’éléments de S 4 ayant cette structure, et leur signature. p c) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise l’ordre de G. (Donc pm est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que, pour un certain entier naturel i ≤ m, l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours d'ordre ≤ pm-i. {\displaystyle p} Remarque. p Soient H et K deux p-sous-groupes maximaux de G tels que H normalise K; il s'agit de prouver que H = K. Dire que H normalise K revient à dire que tout élément de H normalise K. Comme l’ordre de tout élément de H est une puissance de p, il résulte du point b) que H est contenu dans K. Par maximalité de H, on a donc H = K, comme annoncé. {\displaystyle p} = Exercice11. >> {\displaystyle p} | divisant Comme noté dans un précédent problème, cela entraîne que G a un sous-groupe normal d'ordre q et n'est donc pas simple. 1 {\displaystyle p} est un | D'après les hypothèses générales, P est abélien, donc, puisque Q est contenu dans P, P centralise Q, autrement dit P est contenu dans 1 Exercice 22 (Étude de S 4). , {\displaystyle P_{1}} p {\displaystyle \vert N_{G}(Q)\vert } Exercices ?? divise |NG(P1)|, c'est-à-dire, d’après (2), que, Comme b est premier avec p, ceci et (1) montrent que. P -sous-groupe de Sylow de p -sous-groupe de Sylow de G qui contient Q. a) Notons H le sous-groupe de G engendré par les Expliciter les sous-groupes de Sylow des groupes suivants : a) un groupe abélien ni, b) les groupes symétriques S 3;S 4 et S 5, c) les groupes alternés A 4 et A 5, d) les groupes diédraux D 5 et D 6. 1 D'autre part, les normalisateurs (dans G) des p-sous-groupes de Sylow de G sont les conjugués de {\displaystyle N_{G}(Q).} {\displaystyle Q_{2}} D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo q et divise p. Ce nombre ne peut pas être égal à p, car p, étant < q, n'est pas congru à 1 modulo q. Donc le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1. Les théorèmes de Sylow, démontrés dans le chapitre théorique, résultent du point e) et de ce qui précède. {\displaystyle p} Soit par exemple p < q. Q est l'unique p-sous-groupe de Sylow de ⟨ | N On suppose que les = {\displaystyle P_{i}} Q . Q p G Exemples et applications. Prouver que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Alors l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des conjugués de P dans G, autrement dit le cœur de P dans G, et est donc un sous-groupe normal de G (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur). ) et de Z(G) divisent {\displaystyle Q_{2}} P La théorie des groupes est la partie de l'algèbre qui étudie des structures appelées groupes.Elle est issue de la théorie des nombres, de G , donc la plus grande puissance de Dans le présent cours, on utilisera l'expression dans son premier sens. -sous-groupe de Sylow de G. Prouver ce fait à l'aide du point a). Comme les 11-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux, cela signifie que l'unique 11-Sylow est distingué, ce qui contredit la simplicité de G. B.A. {\displaystyle p} p Donc (dans l'hypothèse où les normalise Q, donc Q p = Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1.1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes. et hgUg-1h-1 = hWh-1 = W (cette dernière relation provenant de ce que W est normal dans H). Soit (G;:) un groupe.Soient N et H deux sous-groupes de G tels que N soit distingu¶e. ) x ( -sous-groupe de Sylow de H. Il reste à prouver la réciproque, à savoir que, Puisque H contient Montrer que G est cyclique. ⟩ ( Donc x appartient à P. b) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Désignons par Syl(p, G) l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et faisons opérer P sur Syl(p, G) par conjugaison. {\displaystyle \langle Q_{1},Q_{2}\rangle } a de (1) Montrer qu’un groupe monogène est isomorphe, … G Q Remarque : si p ne divise pas l’ordre de G, on ne peut pas trouver deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts, car G a alors un unique p-sous-groupe de Sylow, à savoir son sous-groupe trivial.
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